متجهان يقعان على استقامةٍ واحدةٍ وفي الاتجاه نفسِه، مقدارُ الأول 3 نيوتن ومقدارُ الثاني 4 نيوتن. ما مقدارُ محصلتهما؟

متجهان يقعان على استقامةٍ واحدةٍ وفي الاتجاه نفسِه، مقدارُ الأول 3 نيوتن ومقدارُ الثاني 4 نيوتن. ما مقدارُ محصلتهما؟ أ 1 نيوتن ب 7 نيوتن ج 5 نيوتن د 12 نيوتن …

تُعد محصلة المتجهات من المفاهيم الأساسية في الرياضيات والفيزياء، ويعتمد إيجادها على معرفة اتجاه المتجهات والعلاقة بينها. فعندما تكون المتجهات على استقامة واحدة وفي الاتجاه نفسه، يكون حساب المحصلة من أبسط الحالات؛ لأن المتجهات تتضافر بدل أن يلغي بعضها بعضًا.

حل السؤال

لدينا متجهان:

• مقدار المتجه الأول = 3 نيوتن.
• مقدار المتجه الثاني = 4 نيوتن.
• المتجهان يقعان على استقامة واحدة وفي الاتجاه نفسه.

عندما يكون متجهان في الاتجاه نفسه، فإن مقدار المحصلة يساوي مجموع مقداري المتجهين:

R=A+BR=A+B

نعوض بالقيم:

R=3+4R=3+4 R=7 نيوتنR=7\ نيوتن

إذن الإجابة الصحيحة هي: ب) 7 نيوتن.

لماذا نجمع المتجهين؟

المتجه لا يحدد بالمقدار فقط، وإنما يتميز أيضًا بالاتجاه. وعندما يكون متجهان على الاستقامة نفسها وفي الاتجاه نفسه، فإن تأثيرهما يكون في الاتجاه ذاته، ولذلك يضاف مقدار أحدهما إلى مقدار الآخر.

ففي هذه المسألة، لدينا قوة مقدارها 3 نيوتن وقوة أخرى مقدارها 4 نيوتن، وكلتاهما تؤثران في الاتجاه نفسه، وبالتالي تكون القوة الناتجة عنهما أكبر من كل قوة منفردة:

3+4=7 نيوتن3+4=7\ نيوتن

وهذا يعني أن المحصلة تتجه في الاتجاه نفسه الذي تتجه فيه القوتان.

الفرق بين المتجهات في الاتجاه نفسه والمتعاكس

من المهم جدًا أن يميز الطالب بين حالتين أساسيتين عند التعامل مع متجهين على استقامة واحدة.

أولًا: المتجهان في الاتجاه نفسه

في هذه الحالة نجمع المقدارين:

R=A+BR=A+B

فمثلًا إذا كانت لدينا قوتان مقداراهما 5 نيوتن و2 نيوتن في الاتجاه نفسه:

R=5+2=7 نيوتنR=5+2=7\ نيوتن

ثانيًا: المتجهان في اتجاهين متعاكسين

في هذه الحالة نطرح المقدارين، ويكون اتجاه المحصلة نحو المتجه الأكبر مقدارًا:

R=∣A−B∣R=|A-B|

فإذا كانت لدينا قوتان مقداراهما 5 نيوتن و2 نيوتن في اتجاهين متعاكسين:

R=∣5−2∣=3 نيوتنR=|5-2|=3\ نيوتن

إذن مجرد معرفة مقدار المتجهين لا تكفي، بل يجب الانتباه إلى اتجاههما.

كيف نحدد المحصلة بسرعة في الاختبار؟

يمكن للطالب استخدام قاعدة بسيطة:

إذا كان المتجهان على استقامة واحدة وفي الاتجاه نفسه → نجمع.

إذا كان المتجهان على استقامة واحدة وفي اتجاهين متعاكسين → نطرح.

وبتطبيق هذه القاعدة على السؤال:

3+4=73+4=7

فتكون المحصلة 7 نيوتن.

تحليل الخيارات

يحتوي السؤال على الخيارات التالية:

• أ) 1 نيوتن: ينتج عن طرح 4 من 3، وهذا لا يناسب الحالة لأن المتجهين في الاتجاه نفسه.
• ب) 7 نيوتن: وهو ناتج جمع المتجهين، ولذلك فهو الاختيار الصحيح.
• ج) 5 نيوتن: لا يمثل العملية المطلوبة لإيجاد المحصلة في هذه الحالة.
• د) 12 نيوتن: ناتج ضرب المقدارين 3×43\times4، وليس طريقة حساب المحصلة هنا.

لذلك فإن 7 نيوتن هي الإجابة الصحيحة.

مثال آخر للتدريب

إذا أثرت قوتان مقدار كل منهما 6 نيوتن و9 نيوتن في جسم، وكانتا على استقامة واحدة وفي الاتجاه نفسه، فإن:

R=6+9=15 نيوتنR=6+9=15\ نيوتن

أما إذا كانتا في اتجاهين متعاكسين، فإن:

R=∣9−6∣=3 نيوتنR=|9-6|=3\ نيوتن

وهذا المثال يوضح بوضوح مدى أهمية تحديد اتجاه المتجهات قبل إجراء عملية الحساب.

الخلاصة

عندما يقع متجهان على استقامة واحدة وفي الاتجاه نفسه، فإن مقدار محصلتهما يساوي مجموع مقداريهما.

في السؤال:

R=3+4=7 نيوتنR=3+4=7\ نيوتن

إذن الإجابة الصحيحة هي: ب) 7 نيوتن.

وتعد قاعدة الجمع في الاتجاه نفسه والطرح في الاتجاه المعاكس من أهم القواعد التي ينبغي تذكرها عند حل مسائل محصلة المتجهات.

 

.