كوكب ما يدور حوله قمران نصف قطر مدار القمر الأول m 10 6 × 0 . 8 وزمنه الدوري s 10 6 × 1 ونصف قطر مدار القمر الثاني m 10 7 × 2 فيكون زمنه الدوري

حساب الزمن الدوري للقمر الثاني

يعتمد الزمن الدوري للقمر الذي يدور حول كوكب على نصف قطر مداره، وتوضح قوانين كبلر أن مربع الزمن الدوري يتناسب طرديًا مع مكعب نصف قطر المدار. لذلك يمكن استخدام العلاقة بين القمرين لإيجاد الزمن الدوري للقمر الثاني.

الإجابة الصحيحة: ج ـ 4 × 10⁶ s ✅

نستخدم العلاقة:

T₂ / T₁ = (r₂ / r₁)^(3/2)

وبحسب المعطيات المقصودة في السؤال:

• نصف قطر مدار القمر الأول = 0.8 × 10⁷ m
• الزمن الدوري للقمر الأول = 1 × 10⁶ s
• نصف قطر مدار القمر الثاني = 2 × 10⁷ m

نعوض في العلاقة:

T₂ = 1 × 10⁶ × (2 ÷ 0.8)^(3/2)

نحسب نسبة أنصاف الأقطار:

2 ÷ 0.8 = 2.5

ثم:

2.5^(3/2) ≈ 3.95

إذن:

T₂ ≈ 3.95 × 10⁶ s

وبالتقريب:

T₂ ≈ 4 × 10⁶ s

لذلك فإن الاختيار الصحيح هو:

ج ـ 4 × 10⁶ s ✅

لماذا نستخدم قانون كبلر الثالث؟

عندما يدور قمران حول الكوكب نفسه، فإن كتلة الكوكب تكون ثابتة، ولذلك يمكن مقارنة الزمن الدوري لكل قمر بنصف قطر مداره.

وينص قانون كبلر الثالث على أن:

T² ∝ r³

أي أن مربع الزمن الدوري يتناسب طرديًا مع مكعب نصف قطر المدار. وهذا يعني أن القمر الذي يكون مداره أكبر يحتاج عادةً إلى زمن أطول لإكمال دورة كاملة حول الكوكب.

ماذا يحدث إذا زاد نصف قطر المدار؟

كلما ابتعد القمر عن الكوكب، زاد نصف قطر مداره، وبالتالي يزداد الزمن الذي يحتاج إليه لإكمال دورة كاملة.

وهذا لا يعني أن الزمن الدوري يزداد بنفس نسبة زيادة نصف القطر؛ بل يعتمد على القوة 3/2 من نسبة أنصاف الأقطار، كما توضح معادلة كبلر.

تنبيه بشأن صياغة المعطيات

تبدو كتابة الأسس في السؤال المرسل غير واضحة قليلًا بسبب طريقة ظهور الرموز؛ إذ إن الوصول إلى الخيار 4 × 10⁶ s يتطلب أن يكون نصف قطر القمر الأول 0.8 × 10⁷ m.

أما إذا كانت القيمة المكتوبة حرفيًا هي 0.8 × 10⁶ m، فإن الحساب سيعطي قيمة مختلفة ولا تتوافق مع الخيارات المعطاة. لذلك فالأرجح أن الأس الصحيح في نص السؤال الأصلي هو 10⁷ وليس 10⁶.

الخلاصة

باستخدام قانون كبلر الثالث ومقارنة مداري القمرين حول الكوكب نفسه، نجد أن الزمن الدوري للقمر الثاني يقارب:

4 × 10⁶ ثانية

إذن الإجابة الصحيحة هي:

ج ـ 4 × 10⁶ s ✅

.