قانون المثلث قائم الزاوية
نص قانون المثلث قائم الزاوية
يُعرف المثلث قائم الزاوية (Right Angled Triangle) بأنه مثلث ذو زاوية بقياس 90ْ درجة، وتكون هذه الزاوية محصورة بين الضلع القائم وقاعدة المثلث، بينما يمثل ضلعه الثالث الوتر، ومن المعروف أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180ْ درجة، أي أن مجموع الزاويتين المتبقيتين يساوي 90ْ درجة، ويمتاز عن غيره من المثلثات بارتباط أضلاعه بصيغة رياضية تُدعى نظرية فيثاغورس وهي قانون المثلث قائم الزاوية، والصيغة التالية توضح صيغة مثلث قائم الزاوية على اعتبار أن المثلث س ص ع قائم الزاوية في ص
(الوتر)2 = (الضلع الأول)2 + (الضلع الثاني)2
(س ع)2 = (س ص)2 + (ص ع)2
الصيغة العامة لحساب مساحة المثلث قائم الزاوية
تمثل مساحة المثلث المساحة المحصورة بداخله أو بين أضلاعه والتي تحسب بالوحدات المربعة، وفيما يلي الصيغة العامة لحساب مساحة مثلث قائم الزاوية على اعتبار وجود مثلث قائم الزاوية ذو قاعدة (س)، والضلع المعامد لها (ص)، والوتر الواصل بينهما (ع):
مساحة المثلث = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع
م (س ص ع) = (1/2) × س × ص
- س: ضلع القاعدة (سم، متر….).
- ص: الضلع المتعامد على القاعدة، ويمثل الارتفاع (سم، متر….).
- م: مساحة المثلث ووحدتها (سم2، متر2……).
يمكن معرفة ما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا بتطبيق قانون مثلث قائم الزاوية الذي يربط أضلاع المثلث بنظرية فيثاغورس، ويمكن استخدام قانون حساب مساحته لإيجاد أطوال الأضلاع المجهولة فيه لاستخدامها في نظرية فيثاغورس.
أمثلة حسابية على قانون المثلث قائم الزاوية
فيما يلي أمثلة حسابية متعددة على قانون المثلث قائم الزاوية
إثبات أن المثلث قائم
وضع فيما يلي أمثلة تحاكي ما إذا كان المثلث يشكل مثلث قائم الزاوية أم لا:
مثال(1): حدد ما إذا كان المثلث ذو الأضلاع 6 سم، 8 سم، 10 سم، هو مثلث قائم الزاوية أم لا؟
لكي يكون المثلث قائم الزاوية؛ يجب تطبيق معادلة فيثاغورس والتأكد من أن الأضلاع تحقق هذه المعادلة كما يلي:
(الوتر)2 = (الضلع الأول)2 + (الضلع الثاني)2
يعامل أطول ضلع على أنه الوتر، لأن من المفروض أن يكون أطول ضلع في مثلث قائم الزاوية هو الوتر.
(10)2 = (6)2 + (8)2
100 = 36 + 64
100 = 100
لقد تحققت المعادلة؛ إذن المثلث يعتبر قائم الزاوية.
مثال(2): حدد ما إذا كان المثلث ذو الأضلاع 5 سم، 7 سم، 9 سم، مثلث قائم الزاوية أم لا؟
أيضًا يجب أن تحقق المعطيات التالية قاعدة فيثاغورس ليكون المثلث قائم الزاوية:
(الوتر)2 = (الضلع الأول)2 + (الضلع الثاني)2
(9)2 = (5)2 + (7)2
81 = 25 + 49
81 > 74
المثلث لا يعتبر قائم الزاوية لعدم تحقيق المعادلة.
عندما يكون الوتر معلومًا
مثال(1): إذا كان الوتر في مثلث قائم الزاوية يساوي 13 سم، والقاعدة فيه تساوي 12 سم، جد الضلع العامودي القائم على القاعدة في المثلث؟
بتطبيق القانون الذي يربط أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية:
(الوتر)2 = (الضلع الأول)2 + (الضلع الثاني)2
(13)2 = (12)2 + (الضلع العامودي المجهول)2
169 = 144 + (الضلع العامودي المجهول)2
169 – 144 = (الضلع العامودي المجهول)2 ؛ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين تصبح المعادلة كما يلي:
25√ = الضلع العامودي
5 سم = الضلع العامودي في المثلث القائم الزاوية
مثال (2): مثلث س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص، طول الضلع س ص = 3 سم، والضلع ص ع = 4 سم، والوتر س ع = 5 سم، فما مساحة المثلث؟
الحل بالصيغة العامة
م (س ص ع) = (1/2) × س ص × ص ع
م = (1/2) × (3) × (4)
م = (1/2 ) × 12
م = 6 سم2
لا علاقة للوتر في قانون مساحة المثلث قائم الزاوية؛ لكن هنالك علاقة بين هذا القانون وأطوال الأضلاع الأخرى في المثلث.
عندما يكون الوتر مجهولًا
مثال(1): إذا كان أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية يساوي 8 سم، والضلع العامودي عليه يساوي 6 سم، فكم يبلغ طول وتر المثلث؟
بتطبيق القانون الذي يربط أطوال أضلاع المثلث قائم الزاوية:
(الوتر)2 = (الضلع الأول)2 + (الضلع الثاني)2
(الوتر)2 = (8)2 + (6)2
(الوتر)2 = 64 + 36
الوتر = (100)2
الوتر = 10 سم
يمكن حل المثلث قائم الزاوية وإيجاد أحد أضلاعه المجهولة بتطبيق قانونه، كما ويمكن إثبات أنه قائم أم لا عند تحقيق أضلاعه للصيغة العامة للمثلث، بحيث يكون الوتر أطول ضلع فيه، ويمكن أيجاد محيط المثلث القائم الزاوية بسهولة أيضًا.
فضلا لا أمرا إدعمنا بمتابعة ✨🤩
👇 👇 👇
https://t.me/eduschool40
