شرح معادلة شرودنجر والنقل الكمي..فيزياء

إليك مسألة نموذجية: لديك سيّارة نفذ منها الوقود، ما هو مقدار القوة اللازمة لدفع السيّارة لتتسارع وصولاً إلى سرعة معينة؟

هل يُمكنه ذلك حقاً؟ عندما بدأ الناس أخذ عالم الأحجام الصغيرة بعين الاعتبار، كالإلكترونات التي تدور حول نواة ذرة ما، أدركوا أن الأشياء تُصبح أكثر غرابة عندها ولا يعود قانون نيوتن ذلك قابلاً للتطبيق، وتحتاج لوصف هذا العالم الصغير إلى ميكانيك الكم (quantum mechanics)، وهي نظرية طُورت في بداية القرن العشرين؛ ويُعرف قلب هذه النظرية، أي شبيه قانون نيوتن الثاني، بمعادلة شرودينجر (Schrödinger’s equation).

الأمواج والجسيمات

---

صورة تُوضح تجربة الشق المزدوج.

يشرح ناظم بوعطا (Nazim Bouatta) عالم الفيزياء النظرية في جامعة كامبريدج: “في الميكانيك التقليدي، نصف حالة نظام فيزيائي ما باستخدام الموقع وكمية الحركة”. على سبيل المثال، إذا كان لديك طاولة مليئة بكرات البلياردو وأردت معرفة موقع وكمية حركة (أي الكتلة مضروبة بالسرعة) كل كرة عند لحظةٍ زمنية معينة t، أي أين يُوجد كل شيء، وإلى أين ستمضي الأشياء وعند أي سرعة. 


يقول بوعطا: “بالتالي يكون نوع السؤال الذي علينا طرحه: إذا ما عرفنا الشروط الابتدائية لنظامٍ ما، أي أننا نعرف النظام عند لحظة زمنية t0، ما هو التطور الديناميكي لهذا النظام؟ بعدها نستخدم قانون نيوتن الثاني للإجابة عن هذا السؤال. في ميكانيك الكم، نسأل السؤال نفسه لكن الإجابة خادعة لأن كمية الحركة والموقع لا يبقيان المتحولات الصحيحة التي تصف النظام”.


تكمن المشكلة في أن الأجسام التي يُحاول ميكانيك الكم وصفها لا تتصرف دوماً ككرات بلياردو صغيرة؛ ففي بعض الحالات من الأفضل التفكير بها على أنها أمواج. يقول بوعطا: “خذ الضوء على سبيل المثال. كان نيوتن مهتماً بالبصريات إضافة إلى عمله مع الجاذبية. ووفقاً لنيوتن، كان الضوء يُوصف على أنه جسيمات. لكن بعد لك وبعد عمل الكثير من العلماء، بما في ذلك الفهم النظري الذي قدّمه جيمس كليرك ماكسويل، اكتشفنا أن الضوء يُوصف بالأمواج”.

لكن في العام 1905، أدرك اينشتاين أن الصورة الموجية ليست صحيحة بالكامل أيضاً؛ ولشرح المفعول الكهروضوئي (photoelectric effect)، تحتاج إلى التفكير في شعاع من الضوء على أنه مجراً من الجسيمات، التي أطلق عليها اينشتاين اسم الفوتونات (photons). يتناسب عدد الفوتونات مع شدة الضوء، وتتناسب طاقة كل فوتون E مع تردده f وفقاً للمعادلة التالية:

وبالاعتماد على تلك الصيغة، اقترح دو برولي أنّ علاقةً مماثلة بين طول الموجة وكمية الحركة يجب أن تبقى صحيحة من أجل أي جسيم. ومن الأفضل لك عند هذه النقطة قطع حدسك الخاص والمتعلق بطلب معرفة ما الذي نعنيه بتصرف الجسيم كموجة، وكل ما عليك فعله هو المتابعة مع الرياضيات.

في الميكانيك الكلاسيكي، يُوصف تطور موجة ما بمرور الزمن -على سبيل المثال: موجة الصوت أو موجة المياه- باستخدام معادلة موجية، وهي معادلة تفاضلية تمتلك حلاً يُعرف بالتابع الموجي (wave function)، الذي يُقدم لك شكل الموجة عند أي لحظة زمنية t -طبعاً عند وجود شروط حدية مناسبة.

اهتزاز وتر موجود في المستوي xy

على سبيل المثال، افترض أنه لديك موجة تتحرك على طول وتر ممتد على طول المحور x ويهتز في المستوي xy. لوصف الموجة بشكلٍ كامل، تحتاج إلى إيجاد إزاحة الوتر في الاتجاه y عند كل نقطة من نقاط المحور x في كل لحظة زمنية معينة. باستخدام القانون الثاني لنيوتن، يكون باستطاعتك البرهان على أنّ الإزاحة y تخضع للمعادلة التالية:

ih2π∂Ψ∂t=−h28π2m(∂2Ψ∂x2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2)+VΨih2π∂Ψ∂t=−h28π2m(∂2Ψ∂x2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2)+VΨ

سنرى كيف يُمكننا حل معادلة شرودينجر من أجل مثال بسيط في مقالٍ آخر، وسنعرف أن ذلك الحل مشابهٌ في الواقع لمعادلة رياضية تصف موجة ما. لكن ما الذي يعنيه ذلك الحل؟ إنه لا يُقدم لك موقعاً دقيقاً للجسيم عند لحظة زمنية محددة، وبالتالي فهو لا يُعطيك مسار الجسيم بمرور الزمن. وبدلاً من ذلك، إنه تابع موجي عند لحظة زمنية محددة تماماً، ويُقدم لك القيمة ΨΨ عند كل المواقع الممكنة. 

هايزنبرغ

بكلماتٍ أخرى، كل ما يمكنك توقعه من التمثيل الرياضي لحالة كمومية ما ومن التابع الموجي هو أنه يُعطينا احتمالاً!

هل للتابع الموجي تفسير فيزيائي أم لا؟ هو سؤال لا يزال غايةً في الحساسية. ويقول بوعطا: “لدينا هذا التابع الموجي، والسؤال هو: هل نفكر حقاً في وجود أمواج تنتشر في المكان والزمن؟”. ويتابع قائلاً: “حاول دي برولي، وشرودينجر واينشتاين تقديم قصة واقعية مثل انتشار موجة الضوء في الفراغ. لكن رفض كلٌ من فولفانغ باولي وفيرنر هايزنبرغ ونلز بور الصورة الواقعية. وبالنسبة لهم، فإنّ التابع الموجي كان مجرد أداة لحساب الاحتمالات”.

هل يعمل؟ 

لماذا علينا تصديق ذلك الأمر الأقرب إلى الخيال؟ عرضنا في هذه المقالة معادلة شرودينجر وكأنها جاءت من العدم، لكن من أين جاءت تلك المعادلة؟ وكيف قام شرودينجر باشتقاقها؟ اعتبر عالم الفيزياء العظيم ريتشارد فاينمان هذا الأمر مسألةً غير مجدية، فهو يقول: “من أين حصلنا على تلك المعادلة؟ من المستحيل اشتقاقها بالاعتماد على أي شيء تعرفه. ببساطة، لقد جاءت من عقل شرودينجر”.

دو برولي

وإلى الآن، تستمر هذه المعادلة بالصمود أمام كل التجارب. ويقول بوعطا: “إنها المعادلة الأساسية الأكثر أهمية في ميكانيك الكم. إنها نقطة البداية لكل نظام كمومي نريد وصفه: الالكترونات، والبروتونات، والنيوترونات، وأي شيء آخر”.

تمثّل النجاح المبكر لهذه المعادلة في قدرتها على وصف ظاهرة ساعدت في ولادة ميكانيك الكم: الطيف المنفصل لطاقة (discrete energy spectrum) ذرة الهيدروجين. ووفقاً لنموذج ارنست رذرفورد للذرة، يجب أن يتغير تردد الإشعاع الصادر عن ذرات، مثل ذرة الهيدروجين، بشكلٍ مستمر. مع ذلك، أوضحت التجارب أن ذلك الأمر لا يحصل: تُصدر ذرة الهيدروجين الإشعاع عند ترددات محددة، وهناك قفزة عندما يتغير التردد. 

انتهك هذا الاكتشاف الحكمة التقليدية، التي طرحها فيلسوف ورياضي القرن السابع عشر غوتفريد لايبنز: “لا تصنع الطبيعة القفزات”. في العام 1913، جاء نلز بور بنموذج ذري جديد وفي ذلك النموذج، كانت الالكترونات مقيدة بسويّات طاقة محددة. وبعد ذلك، طبق شرودينجر معادلته على ذرة الهيدروجين، ووجد أن حلوله تُعيد إنتاج نفس سويّات الطاقة التي نصَّ عليها نموذج بور. يقول بوعطا: “لقد كانت نتيجة مذهلة، وهي الإنجاز الرئيسي الأول لمعادلة شرودينجر”.

بعد عددٍ لا يُحصى من النجاحات التي تحققت في ظلها، أصبحت معادلة شرودينجر المماثل المؤكد لقانون نيوتن الثاني في الحركة بالنسبة لميكانيك الكم. وفي المقالات القادمة، سنشاهد معادلة شرودينجر وهي تعمل باستخدام مثال بسيط عن جسيم يتحرك داخل صندوق. وسنستكشف نتيجة غريبة أخرى لهذه المعادلة وتعرف بالنفق الكمومي (quantum tunneling).