التطبيق 1: النمو الأسي – السكان

لنفترض أن P (t) كمية تزداد بمرور الوقت t ويكون معدل الزيادة متناسبًا مع نفس الكمية P على النحو التالي

د ف / دت = ك ف
حيث dp / dt هو أول مشتق من P و k> 0 و t هو الوقت.
يتم إعطاء حل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى أعلاه بواسطة

الفوسفور (t) = A e ^{k t}
حيث A ثابت لا يساوي 0.
إذا كان P = P ₀ عند t = 0 ، إذن
P ₀ = A e ⁰
مما يعطي A = P ₀
الصيغة النهائية للحل يتم الحصول عليها بواسطة

الفوسفور (t) = الفوسفور ₀ ه ^{ك t}
بافتراض أن P ₀ موجب وبما أن k موجب ، فإن P (t) هو أسي متزايد. د P / dt = k P يسمى أيضًا نموذج النمو الأسي.

 

التطبيق 2: الاضمحلال الأسي – المواد المشعة

لنفترض أن M (t) هو مقدار المنتج الذي يتناقص بمرور الوقت t ويكون معدل الانخفاض متناسبًا مع المبلغ M على النحو التالي

د م / دت = – ك م
حيث d M / dt هو أول مشتق من M و k> 0 و t هو الوقت.
حل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى أعلاه للحصول عليها

M (t) = A e ^{– kt}
حيث A غير ثابت.
نفترض أن M = M ₀ عند t = 0 ، ثم
M ₀ = A e ⁰
مما يعطي A = M ₀
يمكن كتابة الحل على النحو التالي

M (t) = M ₀ e ^{– kt}
بافتراض أن M ₀ موجب وبما أن k موجب ، فإن M (t) هو أسي متناقص. d M / dt = – k M يسمى أيضًا نموذج الاضمحلال الأسي.

 

التطبيق 3: سقوط الجسم

يسقط جسم من ارتفاع في الوقت t = 0. إذا كانت h (t) هي ارتفاع الجسم في الوقت t ، a (t) العجلة و v (t) السرعة. العلاقات بين a و v و h كالتالي:
a (t) = dv / dt، v (t) = dh / dt.
لجسم ساقط ، a (t) ثابت ويساوي g = -9.8 m / s.
بدمج المعادلات التفاضلية المذكورة أعلاه ، يمكننا بسهولة استنتاج المعادلة التالية
d ² h / dt ² = g
دمج طرفي المعادلة أعلاه للحصول على
dh / dt = gt + v ₀
دمج مرة أخرى للحصول على
h (t) = ( 1/2) gt ² + v ₀ t + h ₀
تصف المعادلة أعلاه ارتفاع جسم ساقط ، من ارتفاع ابتدائي h ₀ بسرعة ابتدائية v ₀ ، كدالة للوقت.

 

التطبيق 4: قانون التبريد نيوتن

إنه نموذج يصف ، رياضيًا ، التغير في درجة حرارة جسم ما في بيئة معينة. ينص القانون على أن معدل التغير (في الوقت المناسب) لدرجة الحرارة يتناسب مع الفرق بين درجة حرارة T للجسم ودرجة حرارة البيئة المحيطة بالجسم.

د T / دت = – ك (T – تي)
دع x = T – Te بحيث يكون dx / dt = dT / dt
باستخدام التغيير أعلاه في المتغير ، تصبح المعادلة التفاضلية أعلاه

dx / dt = – kx
يتم إعطاء حل المعا��لة التفاضلية أعلاه بواسطة
x = A e ^{– kt}
البديل x بواسطة T – Te
T – Te = A e ^{– kt}
افترض أنه عند t = 0 درجة الحرارة T =
To – Te = A e ⁰
مما يعطي A = To – Te
التعبير النهائي لـ T (t) i المعطى بواسطة
T (t) = Te + (To – Te) e ^{– kt}
يوضح هذا التعبير الأخير كيف تتغير درجة حرارة الجسم T مع مرور الوقت.

 

التطبيق 5: دائرة RL

دعونا ننظر في دائرة RL (المقاوم R والمحث L) الموضحة أعلاه. عند t = 0 ، يكون المفتاح مغلقًا ويمر التيار عبر الدائرة. تنص قوانين الكهرباء على أن الجهد عبر المقاوم للمقاومة R يساوي R i والجهد عبر محث L يُعطى بواسطة L di / dt (أنا هو التيار). يعطي قانون آخر معادلة تربط جميع الفولتية في الدائرة أعلاه على النحو التالي:
L di / dt + Ri = E ، حيث E هو جهد ثابت.
دعونا نحل المعادلة التفاضلية أعلاه والتي يمكن كتابتها على النحو التالي
L [di / dt] / [E – R i] = 1
والتي يمكن كتابتها كـ
– (L / R) [- R di] / [E – Ri] = dt
تكامل كلا الجانبين
– (L / R) ln (E – R i) = t + c ، c ثابت التكامل.
ابحث عن ثابت c عن طريق ضبط i = 0 عند t = 0 (عندما يكون المفتاح مغلقًا) والذي يعطي
c = (-L / R) ln (E)
استبدل c في الحل
– (L / R) ln (E – R i) = t + (-L / R) ln (E)
والتي يمكن كتابتها
(L / R) ln (E) – (L / R) ln (E – R i) = t
ln [E / (E – Ri) ] = t (R / L)
التغيير إلى الشكل الأسي
[E / (E – Ri)] = e

^{t (R / L)}
حل من أجل i للحصول على
i = (E / R) (1-e ^{-Rt / L} )
نموذج البداية للدائرة هو معادلة تفاضلية والتي عند حلها تعطي تعبيرًا عن التيار في الدائرة كدالة للوقت.