بحث عن المثلثات المتشابهة، حيث تعتبر المثلثات المتشابهة من الحالات الرياضية الشهيرة وذلك بسبب التطبيقات والنماذج الهندسية المختلفة التي تقوم عليها بسبب أهميتها سواء في بناء المنازل أو التصاميم المعمارية المختلفة.
مقدمة عن المثلثات المتشابهة
- المثلثات تعتبر أهم الأشكال الهندسية وأكثرها شهرة ويرجع ذلك بسبب التركيب الهندسي لها حيث أن المثلث تعتبر من الأشكال الهندسية الثلاثية وبالتالي فهي من أقوى الأشكال الهندسية.
- لذلك يستعين بها المهندسين في أعمال البناء المختلفة، بسبب قدرتها على تحمل الظروف والأوزان المختلفة بسبب أن الأضلاع المختلفة للمثلثات تتميز باتصالها معًا وهذا الاتصال يمنح المثلثات القوة اللازمة.
- لذلك لا عجب أن نجد الاهتمام الكبير بالمثلثات من قبل علماء الرياضيات والهندسة.
- حيث قام هؤلاء العلماء بوضع قوانين خاصة لدراسة المثلثات وقد عرفت هذه القوانين بقوانين حساب المثلثات.
- وقد وضعت القوانين والنظريات المختلفة لمعرفة العلاقة بين أضلاع المثلث.
- وكذلك لدراسة الزوايا وتحديد أنواع المثلث ومن ثم معرفة علاقة المثلثات المختلفة ببعضها البعض.
- وتم الاستعانة بذلك في التطبيقات الهندسية والحياتية المختلفة.
- ومن أهم القوانين التي تم وضعها القوانين التي تحدد علاقة مثلث بمثلث آخر من حيث التطابق أو التشابه.
- وفي هذه المقال سوف نقدم كيفية معرفة المثلثات المتشابهة، وما هي التطبيقات التي يمكن أن نستفيدها من تشابه المثلثات.
تعريف المثلثات المتشابهة
- للوصول للتعريف الصحيح تشابه المثلثات لا بد من معرفة ماهية المثلث وأنواعها.
- والمثلث يعتبر أحد الأشكال الهندسية الأساسية في علم الرياضيات وهو عبارة عن ثلاث أضلاع مستقيمة يتلاقى كل ضلعين في نقطة وبالتالي فالنقطة بين كل ضلعين تسمى زاوية وهى إما حادة أو قائمة أو منفرجة والمثلث يحتوي أيضًا على ثلاث زوايا.
- والمثلث بسبب تكوينه المغلق الذي يحتوي على ثلاثة من الأضلع والزوايا فإنه يعتبر ثنائي البعد.
- ومن الشروط اللازمة للمثلث أن يكون مجموع طول ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الأخير له.
- وهناك العديد من القوانين التي تهتم بدراسة المثلثات لتحديد محيط ومساحة المثلث ونظريات فيثاغورس.
- ومصطلح النظريات المتشابهة هو إحدى العلاقات الرياضية التي تشير إلى العلاقة التي تحدث بين المثلثات وبعضها البعض.
- وبالتالي فإن هذه العلاقة هى علاقة نسبية تخضع لشروط معينة وحالات مختلفة، وعليه فإن هذه العلاقة تقوم على التناسب.
- والتشابه لا يعني التطابق و لنفهم ذلك إليك المثال التالي، يتشابه المثلثان التاليين: المثلث أ مع نظيره ب.
- حيث وجد أن جميع أضلاع المثلث أ هى نفس قياس زوايا المثلث ب، ولكن أطوال أضلاع المثلث أ تختلف عن أطوال أضلاع المثلث ب بنسبة تساوي النسبة بين كل ضلعين متقابلين. أما التطابق فهى حالة توضح تساوي المثلثين في كل شئ من أطوال الأضلاع إلى الزوايا.
أنواع المثلثات
ولمعرفة الحالات التي تتشابه فيها المثلثات لا بد من معرفة الأنواع المختلفة المثلثات من حيث دراسة الزوايا والأضلاع فأنواع المثلثات كالآتي طبقًا أطوال الأضلاع:
- مثلث متساوي الأضلاع وفيه يكون الثلاث أضلاع في المثلث متساوية في الطول وبذلك تكون جميع قياسات الزوايا في المثلث متساوية فكل زاوية في المثلث تساوي 60 درجة وذلك لأن مجموع قياسات زوايا المثلث تساوي 180 درجة.
- مثلث متساوي الساقين ويكون فيه طول ضلعين فقط في المثلث متماثلين من حيث الطول وتكون الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين متساويتين.
- المثلث المختلف الأضلاع وهو عبارة عن مثلث لا تتساوى أطوال أضلاعه ولا تتساوى فيه قياسات زواياه فكل ضلع مختلف عن طول الضلع الآخر وكل زاوية لها قياس مختلف.
أنواع المثلثات حسب قياسات الزوايا
- مثلث حاد الزاوية: يكون فيه قياس كل زاوية أقل من 90 درجة ولكن في النهاية لا بد أن يكون مجموع الزوايا كلها يساوي 180 درجة.
- قائم الزاوية: وهو مثلث يحتوي على زاوية قياسها يساوي 90 درجة ويكون مجموع الزاويتين الأخيرتين معًا يساوي 90 درجة.
- مثلث منفرج الزاوية: وهو مثلث به زاوية قياسها أكثر من 90 درجة.
مع ملاحظة أنه في أي مثلث مهما كان نوعه لا بد أن تساوي الزوايا مجموعة إلى بعضها 180 درجة، وفي حالة رسم خط مستقيم مع أي ضلع فإن الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين للمثلث عاد الزاوية التي تجاور الزاوية الخارجية، أو يمكن استنتاج أن الزاوية الخارجية للمثلث تساوي 180 درجة مطروح منها قياس الزاوية المجاورة للخارجية.
حالات تشابه المثلثات
توجد حالات عديدة نعرف من خلالها تشابه المثلثات وبعضها البعض، ومن هذه الحالات الآتي:
الحالة الأولى
- وفيها تتشابه جميع أضلاع المثلث من حيث الطول ويكون ها التناسب بشكل نسبي بمعنى أن يتناسب كل ضلعين متقابلين من حيث الطول.
- ولنفهم ذلك بشكل أعمق فإذا افترضنا أن لدينا مثلثين الأول أضلاعه هى أ ، ب ، ج و الآخر أضلاعه هى س ، ص ، ع فإننا نجد أن أن طول الضلع أ ب / طول الضلع س ص = طول ب ج / طول ص ع = طول ج أ / طول ع س وبهذا فإن المثلث أ ب ج يشابه المثلث س ص ع ل وهذا التشابه في جميع الأضلاع الموجودة في المثلث.
الحالة الثانية
- تتشابه المثلثات عند تشابه زاويتين في كلا المثلثين على سبيل المثال المثلثين أ ب ج ، والمثلث س ص ع نلاحظ فيهما تشابه الزاويتين الزاوية ب مع الزاوية ص في المثلث الآخر وكلتاهما متقابلين، وكل من الزاوية ج تساوي نظيرتها الزاوية ع في المثلث الآخر.
الحالة الثالثة و الأخيرة
- حيث تتشابه المثلثات إذا تشابه ضلعين و زاوية فإذا وجد ضلعين متقابلين في كل من المثلثين متشابهين ووجد في المثلثين زاوية متساوية في كلاهما أصبح المثلثين متشابهين بشرط أن تكون الزاوية المتساوية هي الزاوية التي تقع بين الضلعين المتشابهين.
- فعلى سبيل المثال عندنا المثلث أ ب ج والمثلث س ص ع ونجد أن النسبة بين الضلع أ ب / الضلع س ص = النسبة للضلع ب ج / الضلع ص ع كما تتساوى الزاوية أ ب ج مع قياس الزاوية س ص ع وعليه فإن المثلثين كلاهما يتشابه مع الآخر.
النتائج المترتبة على تشابه المثلثات
- يوجد الكثير من النتائج التي يمكن الاستفادة بها اعتمادًا على العلاقات الرياضية التي تنبع من تشابه المثلثات مع بعضها الآخر.
- حيث يستعين العلماء بتشابه المثلثات في العديد من التطبيقات العملية وكذلك التصاميم المختلفة في البناء والعمارة و تصاميم الديكور المتعددة.
- فمن خلال تشابه المثلثات نجد أن النسبة بين محيط المثلثين المتشابهين تتساوى مع النسبة بين أي ضلعين متقابلين في المثلثين الذي حدث بينهما تشابه.
- وكذلك فإن نسبة مساحة المثلثين المتشابهين تتشابه مع النسبة بين طول أي ضلعين متقابلين.
الاستخدامات العلمية لتشابه المثلثات
- إن قوانين المثلثات والتي من ضمنها القوانين التي توضح تشابه المثلثات يستعين بها المهندسين والمصممين.
- وكذلك في معرفة قياسات الزوايا وتحديد المساحات والمحيطات الخاصة بالمثلثات.
- وتستخدم كذلك في القضايا الجنائية المتعلقة بالجرائم لتوضيح تحديد سقوط الأجسام وتعيين زوايا إطلاق النار، كما تستخدم في الغواصات البحرية.
