بحث عن المتسلسلات الهندسية اللانهائية
- نقدم لكم اليوم بحث عن المتسلسلات الهندسية اللانهائية وهي أحد أنواع المتسلسلات الهندسية فهي فرع من فروع الرياضة والتي تعتبر أحد العلوم الهامة التي تدخل في الكثير من الأمور الحياتية.
- المتسلسلات اللانهائية هي أحد أنواع المتسلسلات الهندسية وتتثمل في مجموعة الأعداد المرتبطة بالحد، وتجدر الإشارة إلى أن هناك عدد كبير من النظريات الرياضية الهندسية التي تعتبر أساس في قيام أغلب العمليات الهندسية.
- لتسهيل دراسة الهندسة لابد من فهم قوانينها جيدًا ولفهم القوانين ينبغي دراستها، ومن خلال سطورنا التالية سنوضح لكم كافة التفاصيل المتعلقة بالمتسلسلات الهندسية لاعتبارها واحدة من أهم فروع الرياضة.
شرح المتسلسلات اللانهائية
تتمثل متسلسلات الهندسة اللانهائية في مجموع متتابعة هندسية لانهائية، وتجدر الإشارة إلى أنه لمعرفة مجموع متتابعة هندسية لا نهائية أو متسلسلات هندسية لا نهائية ينبغي أن تكون القيمة المطلقة للأساس أقل من واحد.
يتساءل الكثير من الأفراد لماذا يشترط أن يكون الأساس أقل من واحد حتى نتمكن من إيجاد مجموع المتسلسلات الهندسية والإجابة هيا أنه في حالة كون الأساس أكبر من واحد تكون المتسلسلات حينها من نوع المتسلسلات المتباعدة، أما في حالة كون الأساس أقل من واحد تكون من نوع المتسلسلات المتقاربة وبذلك يقترب مجموعها من عدد معين يمكن تحديده.
مثال على المتسلسلات اللانهائية وقود السيارة فالسيارة بإمكانها أن تسير بربع كمية الوقود الموجود بداخلها ولكن النتيجة الأكيدة أنه سيأتي وقت وينفذ الوقود الموجود بداخلها.
المتسلسلات الهندسية الغير منتهية
تتمثل المتسلسلات النهائية الغير منتهية في المتسلسلة التي تمتلك عدد لا نهائي من الحدود، والمسلسلة المتقاربة هي المتسلسلة التي تمتلك مجموع فمجموعها يقترب من عدد حقيقي، وفي حالة عدم امتلاك المتسلسلة لمجموع تسمى المتسلسلة المتباعدة.
المتسلسلات الهندسية
تستخدم السلسلة في معظم مجالات الرياضيات حتى في دراسة الهياكل المحدودة كما تدخل في الكثير من العلوم الأخرى كعلم الحاسب الآلي وعلم الفيزياء والإحصاءات المالية، فالسلسلة في الرياضيات عبارة عن وصف لعملية إضافة كميات لا حصر لها من الكميات واحدة تلو الأخرى، وتعتبر دراسة السلسلة من الأجزاء الرئيسية في التفاضل والتكامل.
تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن متابعة التسلسل اللانهائي للإضافات التي تتضمنها السلسلة بفعالية، ولكن في بعض الأحيان يمكن تحديد قيمة السلسلة من خلال التعرف على مفهوم الحد، فعندما يتواجد الحد تكون السلسلة متقاربة وقابلة للتلخيص.
تستخدم المتسلسلات الهندسية للتعبير عن الكسور الدورية حيث يتم تعويض القانون الخاص بها لإيجاد قيمتها بالشكل الاعتيادي للتواصل والمشاركة والتفاعل، كما يمكن استخدام رمز المجموع للتعبير عن المتسلسلات الهندسية اللانهائية بحيث يتم وضع رمز ما لا نهاية فوق رمز المجموع للدلاله على المتسلسلات الهندسية اللانهائية.
سلاسل القدرة الرسمية في الهندسة
يمكن التعامل مع سلسلة الطاقة على أنها مبالغ رسمية، وفي هذه الحالة لا يتم إجراء أي عمليات إضافية فعليه، ويعتبر الرمز + حينها رمز تجريبي للترابط لا يتم تفسيره على أنه الموافق للجمع، وفي هذه الأعداد يكون تسلسل المعاملات نفسه ذات أهمية وليس ذات تقارب في السلسلة.
تستعمل سلاسل القدرة الرسمية في المجموعات التوافقية بغرض وصف ودراسة التسلسلات التي يصعب التعامل معها فعلى سبيل المثال يتم استخدام طريقة لتوليد الوظائف في سلسلة السلطة الرسمية التي تستخدم لدراسة الجبر المتدرج.
تجدر الإشارة إلى أنه يمكن تحديد بعض العمليات كالضرب والمشتقات وعلاج الرمز + حتى لو لم يكن الحد يعتبر من سلسلة السلطة، وفي الأعداد الأكثر شيوعًا تأتي المصطلحات من حلقة تبادلية فيمكن حينها إضافة مصطلحات سلسلة الطاقة الرسمية مصطلح تلو الآخر وضربهم عبر منتج cauchy، وفي هذه الحالة يكون الجبر من سلسلة سلطة رسمية هو الجبر الكامل للمونويد من الأعداد الطبيعية في الحلقة أساسية المدى، إذا كانت حلقة المصطلح الأساسي عبارة عن جبر تفاضلي فسيكون جبر سلسلة القدرة النظامية أيضًا جبر تفاضلي، مع إجراء التمايز واحدًا تلو الآخر.
خصائص المتسلسلات الهندسية اللانهائية
- تتسم السلسلة اللانهائية بالبساطة وهي عبارة عن مجموع لا حصر له يعبر عنه تعبير غير محدود.
- يعبر الرمز n عن أي تسلسل مرتبة من المصطلحات كالوظائف والأرقام وأي شيء آخر يتم إضافته، ويتم الحصول على هذا التعبير من ضمن قائمة المصطلحات.
- قيمة السلسلة تتمثل في قيمة الحد الناتج عن تقارب السلسلة أو تباينها عندما تبتعد قيمها عن بعضها البعض.
- الحالات الشائعة من حساب التفاضل والتكامل هي التي يتكون فيها المجموعة وتكون عبارة عن مجال أرقام معقدة أو حقل أرقام حقيقية.
مراحل تطور السلسلة اللانهائية
قام العالم أرخميدس بإنتاج أولب تجميع من السلسلة اللانهائية واتخذ فيها أسلوب جديد ما زال يستخدم في مجال حساب التفاضل والتكامل حتى وقتنا الحالي، وهي طريقة الاستنفاد، وكان الغرض من ذلك هو حساب المنطقة الواقعة تحت قوس القطع المكافئ مع جمع السلسلة اللانهائية.
اهتم علماء الرياضيات الموجودين في ولاية كيرالا في الهند بدراسة سلسلة لانهائية وتم ذلك في عام 1350م، ومن بعدها عمل جيمس غريغوري على النظام العشري الجديد في القرن السابع عشر ونشر العديد من سلسلة Maclaurin، وفي عام 1715 تم توفير طريقة لإنشاء سلسلة taylor لكافة الوظائف التي كانت موجودة من قبل، وتجدر الإشارة إلى أن العالم ليونارد يولر قام في القرن الثامن عشر بوضع نظرية سلسلة فوق الهندسية.
سلسلة التقارب
هي سلسلة لا حصر لها تتقارب مبالغها الجزئية في حدود نقطة ما من المجال بشكل عام وعلى الرغم من أنها لا تتلاقى إلا أنها مفيدة كالتسلسلات التقريبية، حيث يوفر كلًا منها قيمة قريبة من الإجابة المطلوبة لعدد محدود من المصطلحات، والفارق بينهم هو أنه لا يمكن إجراء سلسلة متقاربة لإنتاج إجابة بالقدر الذي تريد.
