بحث عن القيم القصوى ومتوسط معدل التغير
نتطرق من خلال مقالنا إلى بحث عن القيم القصوى ومتوسط معدل التغير الذي يعد احد دروس الرياضيات للصف الثالث الثانوي بالفصل الدراسي الأول، نوضح ذلك فيما يلي:
- يعتبر أول التطبيقات على دراسة التفاضل، إذ يمكن إيجاد النقاط التي تحتوي على قيم عظمى وصغرى، وذلك عن طريق النقاط الحرجة.
- يتم من خلال هذا الدرس التعرف على أمكانية تزايد وتناقص الدالة، بالإضافة إلى النقاط الحرجة لها.
- كذا القيم القصوى المطلقة والمحلية ومتوسط معدل التغير.
القيم القصوى ومتوسط معدل التغير
القيم القصوى
وفقًا لحساب المتغيرات فإنها تعني الحدود العظمى للدوال، إذ تعتمد تابعت الدالة الرياضية على دالة مشابهة للدوال المتغيرة إلى حد كبير وتتضمن نوعين من القيم، نوضح ذلك فيما يلي:
- القيمة القصوى المحلية: هي التي يكون فيها الاقتران ق (س) ذات قيمة عظمى محلية عندما تكون س=ج، فإذا كان ق (ج) جزء من ق(س) فأن س جزء من مجال الاقتران الذي يحتوي على ج.
- القيمة العظمة المطلقة: حيث يكون الاقتران ق(س) ذات قيمة عظمى مطلقة عندما تكون (س=ج)، فإذا كانت ق (ج) جزء من ق(س) فإن س هو مجال الاقتران بالكامل.
- هي تلك النقاط التي تكون قيمة الدالة عندها أقصى ما يمكن، وتعرف من خلال نظرية المجموعات بأنها أعلى قيمة في المجموعة.
- على سبيل المثال الدالة F المعرفة على خط الأعداد لها قيمة قصوى عند النقطة Y، فإذا وجدت قيمة لـε> 0 حيث f(Y∗) ≥ f(Y)، بينما |x − x∗| <ε فإن قيمة الدالة عند هذه النقطة تساوي النقطة المحلية العظمى.
متوسط معدل التغير
نتناول متوسط التغير في بحث عن القيم القصوى ومتوسط معدل التغير فيما يلي:
- على سبيل المثال إذا كان س متغير حقيقي واختلفت قيمته من س1 إلى س2 فإن التغير في س=س2-س1، فيما يرمز له بالرمز س وتتم قرأته دلتا س.
- إذا تمكنت سيارة من الوصول إلى مكان ما في مدة تقدر بـ60 دقيقة، حيث في البداية تحركت السيارة بسرعة عالية ثم بدأت تقل حتى اصبح الزمن اللازم للوصول إلى تلك النقطة ساعة كاملة.
- على الرغم من أمكانية تحرك السيارة بسرعة ثابتة منذ الانطلاق وحتى الوصول، على أن تستغرق ساعة أيضًا للوصول إلى النقطة المحددة، وتكون تلك السرعة هي متوسط معدل التغير.
- فإذا انطلقت السيارة بسرعة ثابتة اقل من التي انطلقت بها من قبل وظلت محتفظة بها حتى وصلت تقطع نفس المسافة في نفس الوقت الزمني الذي قطعته أثناء تغير سرعتها.
خصائص القيم القصوى ومتوسط نمو التغير
تعد القيم القصوى ومتوسط معدل التغيير أولى التطبيقات على دراسة التفاضل، حيث تساعد على إيجاد النقاط التي يكون لها قيم صغرى وعظمى، فعلى سبيل المثال تحقيق أعلى ربح أو اقل خسائر هي تطبيقات ناتجة عن القيم القصوى، بعد أن قمنا بعمل بحث عن القيم القصوى ومتوسط معدل التغير نستعرض فيما يلي بعض الخصائص للقيم القصوى ومتوسط نمو التغير.
التزايد والتناقص
- إذا قمنا بكتابة دالة ما وبدأنا بوضع بعض المتغيرات في الجدول، نجد أن بزيادة قيمة x تزداد قيمة الدالة، في نفس الوقت من الممكن أن تقل قيمة الدالة مع زيادة قيمة x.
- بينما نلاحظ في الدالة المتزايدة أو الزاوية المنفرجة أن المنحنى يقوم بإحداث زاوية موجبة مع الاتجاه الموجب للمحور x، أما الدالة الثابتة فإنها تتمثل في مستقيم موازي للمحور x.
النقاط الحرجة للدالة
- تعد من اهم النقاط الهامة التي يجب التحدث عنها في بحث عن القيم القصوى ومتوسط معدل التغير.
- هي النقاط التي تتكون عندها القيم القصوى، إذ يتغير سلوك المنحنى إما بالتزايد أو التناقص، كذلك الثبوت.
- تساعد النقاط المماس المائلة للمنحنى على الاستدلال لتلك النقاط، سواء كانت غير معرفة أو مساوية لصفر.
حل القيم القصوى ومتوسط معدل التغير
قمنا فيما سبق بعمل بحث عن القيم القصوى ومتوسط معدل التغير فلا يمكن الاستغناء عنهم في جميع أمور الحياة، نستعرض فيما يلي بعض الأسئلة بمجالي الفيزياء والصناعة مع عرض الحلول لخاصة بهم:
- أراد صاحب مصنع أن يقوم بصناعة كأس بها فتحة من الأعلى وعلى شكل أسطوانة، حيث تبلغ مساحتها الكلية 10 سم، أوجد ارتفاع الكأس ونصف قطره بينما يساعدان على كبر حجم الكأس أقصى ما يمكن.
- أولًا علينا معرفة أن المساحة الكلية للأسطوانة تكون حاصل جمع المساحة الجانبية ومساحة القاعدة.
2Πrh+Πr²=10Π
2rh+r²=10
2rh=10-r²
- أما إذا اردنا حساب الحجم فإنه يكون حاصل ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع.
h×Πr²
(10-r²)÷2r×Πr²
(10r-r³)=Π/r
- يمكننا الحصول على القيمة العظمى بطريقة التفاضل من خلال الخطوات التالية.
∨¹=(10r-r³)=Π/r
∨¹=0
r=√3/10= 1.83
بالتعويض تكون h= 1.83 in.
