بحث عن البرهان الجبري
- معلومات عن البرهان الجبري بالأمثلة نعرضه عليكم اليوم من خلال هذا المقال ، فما عليكم إلا متابعتنا من خلال السطور التالية. يُعد البرهان الجبري هو أحد فروع علم الجبر.
- فالبرهان هو تلك الطريقة الرياضية التي يتم الاعتماد عليها من أجل إثبات صحة علاقة أو قضية رياضية معينة بالاستناد على مجموعة من البديهيات المعروفة.
- يعتمد البرهان على مجموعة من الخطوات التسلسلية التي يعتمد كل منها على ما يسبقه وذلك من أجل إثبات صحة علاقة أو عبارة رياضية، أو خطأها، أو الوصول إلى استنتاج مُعين بصفة عامة.
- فما هو البرهان الجبري تحديدًا، وعلى ماذا يعتمد في حل المعادلات، هذا ما سنتعرف عليه من خلال السطور التالية، فتابعونا.
ما هو البرهان
- يعتمد الجبر في عمله على عدة رموز مكتوبة باللغة اليونانية ويتم استخدامها حتى هذا الوقت.
- وفي أواخر القرن الـ 16 طور عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت من علم الجبر، وإليه يعود الفضل في نشأة الجبر الحديث.
- وبعد ذلك قام عالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت باختراع الهندسة التحليلية واستحداث العديد من الرموز الجبرية.
- لذلك فمن المتعارف عليه أن علم الجبر من أهم العلوم الرياضية التي تعتمد على مجموعة من الأعداد، التي تخضع لسلسلة من العمليات الرياضية.
- أما البرهان بصفة عامة فهو طريقة الإثبات التي يتم الاستعانة بها لتحديد صحة أو خطأ علاقة ما.
- ولا يقتصر البرهان على تلك الأمور الرياضية التي يُطلب إثبات صحتها أو نفيها وحسب، بينما يُعتمد عليه للوصول إلى الحقائق والمسلمات.
- فنظرية فيثاغورث على سبيل المثال تُعتبر من المسلمات التي تم إثبات صحتها من خلال البرهان، وكذلك نظرية إقليدس وغيرها من النظريات التي قدمت لنا مجموعة من القوانين المثبت صحتها رياضيًا والتي يسرت الكثير لحل المسائل، وإثبات العلاقات الرياضية.
- فمن خلال البرهان توصلنا إلى صحة الحقيقة القائلة بأن إجمالي قياس زوايا المثلث لا يُمكن أن يزيد عن 180 درجة فقط، لتُصبح تلك القاعدة من المسلمات التي يُمكننا على إثرها أن نصل إلى استنتاجات أخرى من خلال البرهان أيضًا.
البرهان الجبري
- يُعتبر البرهان الجبري هو نوع من أنواع البراهين الرياضية التي يُمكن الاستعانة بها لحل المعادلات والمتباينات الرياضية.
- ففي البرهان الجبري يتم التعبير عن كميات غير محدودة باستخدام الرموز وهي التي يُطلق عليها اسم “المتغيرات”،
- ويعتمد حل المعادلات في البرهان الجبري على تحديد القيم عند وجود معادلات رياضية تحتوي على تلك المتغيرات، حيث يدرس البرهان الجبري الطريقة التي يتم من خلالها التعامل مع تلك المتغيرات.
- وذلك على عكس البرهان الهندسي الذي يعتمد على قياس الزوايا، وإثبات التوازي، والقطع المستقيمة، وغيرها من الأمور الهندسية.
- أما البرهان الإحداثي فهو ذاك الذي يهتم بالهندسة التحليلية.
مفهوم البراهين الجبرية
- تعتمد البراهين الجبرية على البحث ودراسة المتغيرات في المعادلات الرياضية، ويتم تعريف المتغيرات بأنها رموز رياضية تعبر عن قيمة ما أو كمية ما، ويتم استخدام هذه الرموز في المعادلات للوصول إلى قيمة معينة، والقيمة النهائية التي يتم التوصل إليها بعد حل المعادلات الرياضية تثبت صدق البرهان والنظرية الرياضية.
- يقوم البرهان الجبري على حل العديد من المسائل الرياضية المنتشرة والشائعة، فالجبر يختص بأشهر العمليات الرياضية المختلفة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.
- ولذلك يتم استخدام علم الجبر كثيرًا في حياتنا اليومية ويحرص الكثير على دراسته والتعرف على علومه وفنونه، ويتم استخدامه في العمليات التجارية والحسابية بشكل كبير.
- ويقوم البرهان على الإتيان بدليل منطقي ورياضي قابل للقياس لفرضية مطروحة على الساحة، فبالبرهان يمكن أن تثبت خطأ فرضية ما أو تثبت صدقها، فالتفكير المنطقي الدقيق يجعل من السهل الوصول إلى حل للفرضية المطروحة.
- وكل ما على العالم القيام به هو إتباع الخطوات العلمية بشكل منظم ومتسلسل حتى يصل في النهاية إلى حل للفروض، وحتى يمكن تعميم هذا الحل فيما بعد، فالأساس الذي يعتمد عليه العلماء هو العقل والمنطق.
- فلا يوجد نظريات مطروحة لا تستند على أسباب وبراهين علمية ومنطقية، فهناك العديد من النظريات التي خرجت للساحات العلمية وثبت فسادها وخطئها بالبراهين الجبرية التي تعتمد على المنطق وعلى الدلائل.
- نجد أن البراهين الجبرية تهتم بدراسة المعادلات لكي يقوم بحلها وإثبات نظريات جبرية يمكن تعميمها بعد ذلك، أما البراهين الهندسية ففيها يهتم العلماء بدراسة الأشكال الهندسية المختلفة مثل المستقيمات والمثلثات، ويتم فيها دراسة قياسات الزوايا والأضلاع والأطوال وكل ما يخص علاقات التوازي والتوالي وما شابه.
أمثلة على البرهان الجبري
- وإليكم مجموعة من الأمثلة على البرهان الجبري:
مثال 1
إذا كانت س =5، اثبت أن 2(2س+5)-2= 28
الحل
بما أن س=5، فإن 2س= 2×5=10
إذن (2س+5)= (10+5)=15
وبالتالي فإن 2(2س+5)-2= 2(15)-2
أي 30-2= 28 وهو المطلوب إثباته.
مثال 2
إذا كان ص= 10 اثبت أن 5 ص -1= 7²
الحل
بما أن ص=10، فإنه بالتعويض 5ص= 5×10=50
إذن 50-1= 49
وبما أن 7²= 49، إذن فإن 5 ص -1= 7² ، عندما ص = 10، وهو المطلوب إثباته.
مثال 3
من الاستخدامات الأخرى للبرهان الجبري إثبات أنه إذا تم جمع عددين زوجيين فسيكون الناتج عدد زوجي، وذلك من خلال المثال التالي:
إذا كان س و ص أعداد صحيحة، وتم جمع ²س و ²ص، سيصبح الناتج كما يلي ²س + ²ص = 2(س+ص)، أي أن مجموع العددين هو رقم صحيح مضروبًا في 2، ويكون ناتج ضرب 2 في العددين الصحيحين رقم زوجي.
مثال 4
ومن القواعد الأخرى التي يثبتها البرهان الجبري أنه إذا تم جمع 3 أعداد صحيحة سيكون الناتج مساويًا لواحدًا من مضاعفات العدد 3، ومن الأمثلة الدالة على ذلك ما يلي:
إذا كان س عدد صحيح، وكانت هناك 3 أعداد، الأول هو س والثاني هو س+1 والثالث هو س+3، فإذا تم جمع تلك الأعداد ستصبح المعادلة كما يلي: س+(س+1)+(س+3)= x3س+3 أي x3 (س+1).
مثال على البراهين الرياضية في المعادلات
أكد العالم هيرنان أن قيمة أي رقم وإضافة رقم 1 إليه، فسوف تكون النتيجة النهائية حتمًا عدد أوليً، وحاول إثبات هذه الفرضية عن طريق البراهين الجبرية، ولكن بسبب البراهين الجبرية ثبت فشل النظرية وكذب الفرضية، وسنوضح هذا بمثال بسيط:
1 ^ 2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، يكون أولي.
2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، هو أولي.
2 ^ 2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، وهو أولي.
2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، وهو أولي.
ولكن نلاحظ أن في كل هذه الأمثلة لا يوجد رقم مربع، وعند محاولة إثبات فرضية أو نظرية ما يجب دراسة كافة الأمثلة بإختلاف أشكالها، ولذلك يحب إعادة التجربة بإستخدام الأرقام المربعة
3 ^ 2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، و هو ليس رقم أولي.
2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، و هي ليس رقم أولي.
تاريخ البرهان الجبري في الرياضيات
- علم الجبر ظهر مع ظهور الحضارة الفرعونية والحضارة البابلية القديمة، حين اهتموا بدراسة المعادلات بإختلاف أنواعها سواء كانت خطية أو تربيعية، كما اهتموا بدراسة المتغيرات والرموز المختلفة للوصول إلى نظريات منطقية وعلمية.
- ثم بعد ذلك اهتم الهنود بدراسة البراهين وعلم الجبر، ومن أشهر العلماء قديمًا كان العالم الهندي بوذاهيانا، حيث قام عام 800 قبل الميلاد بوضع براهين جبرية لنظرية فيثاغورث الشهيرة، وكانت دراسته تختص بزوايا المثلث وأضلاعه.
- أول من استخدم مصطلح الجبر في كتبه ودراساته كان العالم الرياضي الخوارزمي، وكان ذلك عام 780 ميلاديًا، فقد كتب في كتابه “المختصر في حساب الجبر والمقابلة” أسس علم الجبر.
- انتقل علم الجبر من العالم العربي إلى العالم الأوربي والأجنبي بعد ترجمته على يد العالم فيبوناتشي، وكان إيطالي الجنسية، وقام عام 1170 ميلاديًا بترجمة الكتب العربية التي تحدثت عن علم الجبر، وبدأ هذا العلم في الإنتشار وأصبح له العديد من المهتمين به.
- وبعد ذلك تطور هذا العلم بشكل سريع على يد العديد من العلماء الأجانب، مثل العالم أرس ماجنا، والعالم جورج بيكوك، والعالم جوزيه غيبس، والعالم رينيه ديكارت، والعالم سيكي كوا، والعالم غوتفريد لايبنيز، والعالم غابرييل كرامر، والعالم جوزيف لويس لاغرانج، والعالم باولو روفيني، وغيرهم من العلماء الذين قاموا بكتابة الكتب المتعلقة بعلم الجبر، وتحدثوا بالتفصيل عن المعادلات الرياضية وعن علم البراهين، وكيف أن البراهين هي أساس الرياضيات والنظريات الرياضية الحديثة.
وبذلك ثبت فشل النظرية وعدم صلاحها، وعدم قدرة العالم على تطبيقها وتعميمها على باقي المعادلات الرياضية المختلفة، وبإستخدام البراهين الجبرية يمكن إثبات صدق أو كذب فرضية ما.
