مفهوم الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق ستجده في هذا المقال حيث سنشير بالتفصيل إلى كل ما يتعلق بنظرية الإحتمال والتباديل والتوفيق في الرياضيات، فعلم الرياضيات علم واسع وملئ بالنظريات والمصطلحات المختلفة.
ويقوم علماء الرياضيات بوضع هذه النظريات بعد القيام بالعديد من الدراسات المختلفة، ويقوموا بوضع براهين لكل خطوة علمية يقوموا بها، وذلك لأن هذا العلم يتصف بالدقة الشديدة وإستناده على المفاهيم العلمية.
ولا يتم الوصول إلى قانون رياضي إلا بعد التأكد من صحته وإمكانية تنفيذه في كل المسائل الرياضية المشابهه، والمسائل والتعقيدات الرياضية الصعبة تساعد الفرد على قيامه بالأنشطة الحياتية اليومية بشكل علمي دقيق.
نظرية الإحتمال في الرياضيات
نظرية الإحتمال في الرياضيات تعني إيجاد الإحتمال الذي يمكن فيه وقوع حدث ما أو عدم وقوعه، ويجب أن يكون رقم الإحتمال في النهاية ينحصر بين الصفر والواحد، ويستخدم الجميع هذة النظرية بصورة أو بآخرى.
فيتم استخدامه بكثافة في علم الرياضيات، وعلم الفيزياء، وعلم الكيمياء وفي الحياة اليومية أيضًا، وفي الوقت الحالي تستعين أيضًا أجهزة الذكاء الإصطناعي بعلم الإحتمال بشكل كبير، وهناك أنواع مختلفة للإحتمال مثل الإحتمال المنظم والإحتمال الضمني الشخصي.
والإحتمالات التكرارية النسبية، كما أن هناك عدد من المفاهيم المختلفة المرتبطة بالإحتمال مثل التجربة والفضاء العيني والحدث والتكرار النسبي للنتيجة ونتائج ذات احتمالية متساوية.
قام علماء الرياضيات بوضع تعريف بسيط وشامل لنظرية الإحتمالات في الرياضيات وهو نظرية الإحتمال = عدد الطرق الممكنة لوقوع الحادث ÷ العدد الكلي لجميع الحوادث المحتملة.
فلكي تصل إلى النسبة الدقيقة لإحتمالية وقوع حدث ما فيجب عليك أن تعرف عدد مرات وقوع هذا الحدث في الظروف المشابهه سابقًا، وعدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها أن يقع هذا الحدث، وذلك لكي نصل إلى قيمة واقعية ومنطقية.
كما قام علماء الرياضيات بوضع بعض القواعد والقوانين المختلفة لعلم الإحتمال، وذلك لكي يكون ملائم لكافة المسائل والأحداث.
أشهر قوانين الإحتمال
احتمال وقوع حادث ما=1 / العدد الكلي لجميع الحوادث المحتملة، وذلك بشرط أن تكون نتيجة الإحتمال منحصرة ما بين الصفر والواحد.
إذا كان هناك موقفين منفصلين، يتم الإشارة إلى الحدث الأول بالرمز (أ)، ويتم الإشارة إلى الحدث الثاني بالرمز (ب)، ويتم الإشارة إلى الإحتمال بالرمز (ح)، ويكون حينها القانون ح( أ ∪ ب)=ح(أ)+ح(ب).
إذا تقاطع وتداخل موقفين أو حدثين يتم التعبير عن الحدث الأول بالرمز (أ)، ويتم التعبير عن الحدث الثاني بالرمز (ب)، ويتم الإشارة إلى الإحتمال بالرمز (ح)، ويكون حينها القانون ح( أ / ب)=ح( أ ∩ ب)/ ح(ب).
أما إذا كان الحدثين مستقلين عن بعضهم البعض بشكل كامل فحينها يكون القانون ح( أ / ب)=ح(ب).
نظرية التباديل في الرياضيات
تعتبر التباديل نظرية من نظريات الإحتمال في الرياضيات، ويتم تعريفها على أنها القيمة النهائية لإحتمالات تشكيل عناصر مرتبة في مجموعة معينة، فتقوم نظرية التباديل على التركيز على حساب احتمال وقوع حدث ما وترتيب وقوعه.
وعنصر الترتيب هو العنصر الأساسي الذي يفرق بين التباديل والتوافيق، وهناك طرق مختلفة لترميز التباديل في الرياضيات مثل الترميز بإستخدام الصف الواحد، والترميز بإستخدام الصفين، والترميز الدائري.
وهناك نوعين أساسين للتباديل وهم
التباديل مع التكرار: هذا النوع من التباديل يتم فيه تكرار العناصر أكثر من مرة في المجموعة الواحدة، ويشترط في التباديل مع التكرار أن يكون العدد النهائي للعناصر في المجموعة يساوي العدد النهائي للعناصر الكلية، وهناك قانون رياضي ثابت لهذا النوع من التباديل، وهو عدد التباديل = عدد عناصر المجموعة المختارة ^ عدد العناصر المختارة.
التباديل بدون تكرار: ويشترط في هذا النوع من التباديل ألا يتكرر العنصر أكثر من مرة في المجموعة الواحدة، والقانون الذي ينظم هذا النوع هو عدد التباديل = عدد عناصر المجموعة المختارة / (عدد عناصر المجموعة المختارة – عدد العناصر المختارة في النهاية).
نظرية التوافيق في الرياضيات
الفرق الأساسي للتباديل عن التوافيق هو إهتمام التباديل بمراعاه الترتيب وعدم إهتمام التوافيق به، فالتوافيق يشير إلى القيمة المحتملة لتنظيم وتشكيل العناصر في المجموعات المختلفة.
ووضع علماء الرياضيات قانون يمكن من خلاله حساب التوافيق وهو التوفيق (عدد متغيرات المجموعات الكلية ، عدد متغيرات احتمال وقوع الحدث وتكراره) = عدد متغيرات المجموعة الكلية / ((عدد متغيرات المجموعة الكلية – عدد متغيرات احتمال وقوع الحدث وتكراره) * عدد متغيرات احتمال وقوع الحدث وتكراره)، ويرمز لهذا القانون بـ ت(ن،ر) = ن / ((ن-ر) * ر!).
