المثلث القائم الزاوية و نظرية فيثاغورس مع الامثلة
المثلث القائم الزاوية و نظرية فيثاغورس مع الامثلة
المثلث القائم الزاوية و نظرية فيثاغورس مع الامثلة
المثلث القائم الزاوية و نظرية فيثاغورس مع الامثلة
المثلث القائم الزاوية و نظرية فيثاغورس مع الامثلة
المثلث القائم الزاوية و نظرية فيثاغورس مع الامثلة
المثلّثات
المثلّثات (بالإنجليزيّة: Triangles) هي أشكال هندسيّة ثلاثيّة الأضلاع، حيث يتكوّن سطحها من تقاطع ثلاث قِطَع مستقيمة تُسمّى أضلاع المثلّث؛ وينتج عن هذا التقاطع ثلاثة رؤوس، لا تقع على استقامة واحدة، وتُسمّى (القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس المثلّث ومنتصف الضّلع المقابل له) بالمستقيم المتوسّط أو القطعة المتوسّطة، أمّا ارتفاع المثلّث فهو العمود النازل من رأس المثلّث إلى القاعدة؛ حيث تتشكّل من هذا التعامد زاوية قائمة قياسها 90°.[١][٢]
تعريف المثلّث قائم الزاوية
المثلّث قائم الزاوية هو نوع من أنواع المثلّثات، التي تحتوي على زاوية قائمة قياسها 90°،[٣][٤] وبمعنىً آخر إذا كان (مجموع مربّعَي طولي أيّ ضلعين في المثلّث يساوي مربّع طول الضلع الثالث) فإنّ المثلّث قائم الزاوية،[١] ويُطلَق على أطول أضلاع المثلّث قائم الزاوية مصطلح الوتر.[٥]
قانون المثلث قائم الزاوية-نظريّة فيثاغورس
أُجرِيت عدّة دراسات قبل أكثر من 2000 عام حول المثلّثات، فنتجت عنها عنها اكتشافات كان لها تأثير مذهل، ومن هذه الاكتشافات نظريّة فيثاغورس، التي سُمِّيت بهذا الاسم نسبةً إلى عالم الرياضيات المشهور فيثاغورس؛ حيث كان له دور كبير في علم المثلّثات، فهو مؤسّس المدرسة الفيثاغوريّة في إيطاليا، وقدّم من خلالها نظريّاتٍ في الهندسة المستوية، كما قدّم نظريّته الشهيرة التي كانت لها أهميّة كبرى في كيفيّة إيجاد الضلع الثالث في المثلّث قائم الزاوية، وذلك عن طريق استخدام نظريّة فيثاغورس، وذلك بتربيع الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة، ومساواته بمجموع مربّعَي الضّلعين الآخرين، ويُعبَّر عن نظريّة فيثاغورس بالقانون الآتي:[١][٦]
(طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)²
وفيما يأتي بعض الأمثلة التي توضّح كيفيّة إيجاد طول الضلع الثالث بتطبيق نظريّة فيثاغورس:
مثال (1): المثلّث أ ب ج قائم الزاوية في ب، فيه طول الضلع ب ج يساوي 12سم، وطول الضلع أ ب يساوي 5سم، جد طول الضّلع أج.[٦]
الحلّ: بما أنّ المثلّث قائم الزاوية عند ب، فإن الضلع المقابل لها هو أ ج؛ وهو الوتر، وحتّى نجد طول هذا الضّلع نتّبع الخطوات الآتية:
نطبق نظريّة فيثاغورس، وهي:
(طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)²
نعوّض قِيم الضلعين الأول والثاني لإيجاد الوتر:
(طول الوتر)²=(5)²+(12)²
(طول الوتر)²=25+144
(طول الوتر)²=169، وبأخذ الجذر التربيعيّ لكلا الطّرفين، تصبح النتيجة:
طول الوتر=13سم.
مثال (2): مثلّث قائم الزاوية، فيه طول الضلع الأول يساوي 9سم، وطول الوتر يساوي 15سم، جد طول الضلع المجهول.[٦]
الحلّ: نعوض أطوال الأضلاع المعطاة في نظرية فيثاغورس
نظريّة فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)².
نعوّض قيمة الوتر والضّلع الأول في القانون
(15)²=(9)²+(طول الضلع الثاني)²
225=81+(طول الضلع الثاني)²
بطرح العدد 81 من الطرفين، تُصبح المعادلة:
144=(طول الضلع الثاني)²
وبأخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، تكون النتيجة:
طول الضلع الثاني=12سم.
مثال3: أ ب ج مثلّث قائم الزاوية عند ب، فيه طول أ ب يساوي 3م، وطول ب ج يساوي 4م، احسب طول الوتر.[١]
الحلّ: لحلّ هذا السؤال نطبّق نظريّة فيثاغورس:
(طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)²+( طول الضلع الثاني)².
نعوّض طول أ ب، وطول ب ج.
(الوتر)²=(3)²+(4)².
(الوتر)²=9+16.
(الوتر)²=25
وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، ينتج أنّ:
طول الوتر=5م.
محيط المثلّث قائم الزاوية
يُسمّى مجموع أطوال جوانب المثلّث بالمحيط، وهو عبارة عن المسافة التي تُحيط بالمثلّث، ويُعبَّر عنه بجمع أطوال أطرافه (أضلاعه) الثلاثة.[٣] وفيما يأتي مثال يبين كيفيّة حساب المحيط:
مثال: جد محيط مثلّث، إذا علمت أنّ أطوال أضلاعه على التّوالي: 3سم، 4 سم، 5سم.
الحلّ:
محيط المثلّث=مجموع أطوال أطوال أضلاعه
محيط المثلّث=3+4+5
إذن المحيط=12سم.
قانون مساحة المثلّث قائم الزاوية
تُعرَّف المساحة على أنّها المنطقة الموجودة داخل حدود المُضلَّعات، وبما أنّ المثلّث من ضمن المُضلَّعات فمساحته هي عبارة عن المنطقة التي تقع داخله، أمّا طريقة حساب مساحة المثلّث قائم الزاوية فهي كمساحة باقي المثلّثات، وهي:[٧][٨][٣]
مساحة المثلث=2/1×طول القاعدة×الارتفاع.
وفيما يأتي بعض الأمثلة التي توضّح كيفيّة حساب مساحة المثلّث:
مثال (1): احسب مساحة مثلّث قائم الزاوية، إذا علمت أنّ طول القاعدة يساوي 5سم، وارتفاعه يساوي 8سم.
الحلّ:
يتمّ تعويض كلّ من طول القاعدة والارتفاع في قانون مساحة المثلّث قائم الزاوية:
مساحة المثلث=2/1×طول القاعدة×الارتفاع.
مساحة المثلّث قائم الزاوية=2/1×5×8
إذن مساحة المثلّث=20سم².
مثال2: احسب مساحة مثلّث قائم الزاوية، إذا علمت أنّ طول قاعدته يساوي 20م، وارتفاعه يساوي 12م.[٣]
الحلّ:
المساحة=2/1×طول القاعدة×الارتفاع
المساحة=2/1×20×12
المساحة=120م².
أنواع المثلّثات
من حيث الزوايا
تُقسَم أنواع المثلّثات حسب زواياها إلى ثلاثة أنواع، هي:[٣][٢]
مثلّث قائم الزاوية (Right Triangle): فيه زاوية قياسها 90°، والزاويتان المتبقيتان حادّتان ومتتامّتان.
مثلّث حادّ الزّوايا (Acute Triangle): فيه قياس كلّ زاوية من الزوايا الثلاثة أقلّ من 90°.
مثلّث منفرج الزاوية (Obtuse Triangle): فيه زاوية قياسها أكثر من 90°، والزاويتان المتبقيتان حادّتان.
من حيث أطوال الأضلاع
تُقسَم أنواع المثلّثات حسب أطوال أضلاعها إلى ثلاثة أنواع، هي:[٣][٢]
مثلّث متساوي الأضلاع (Equilateral Triangle): هو مثلث تتطابق أضلاعه الثلاثة في الطول، ولهذا فإنّ زواياه أيضاً مُتطابقة؛ قياس كلٍّ منها هو 60°.
مثلّث متساوي الضّلعين أو السّاقين (Isosceles Triangle): هو مثلث يتطابق فيه ضلعان في الطول، وبهذا فإنّ الزاويتين المُجاورتين للضلعين المتطابقين متساويتان في قياسهما (زاويتا القاعدة متطابقتان).
مثلّث مختلف الأضلاع (Scalene Triangle): هو مثلث لا تتطابق أضلاعه في الطول، وعليه فإنّ زواياه أيضاً مختلفة في القياس.
