الدوال وانواعها وتغيراتها

الكثير من الطلبة يجدون صعوبة بالغة في علم الرياضيات، ولذلك يسعدنا ان نقدم لكم في مقال اليوم بحث عن الدوال ، وليس على الطالب إلا الصبر والتركيز كي يتعلم علم الدوال، وهذا ليس لصعوبته بل لأنه علم واسع ملئ بالأفكار الكثيرة.

وفي هذا المقال سنناقش كل ما يتعلق بالدوال الذي أكتشفها العالم الإنجليزي غوتفريد لايبنتر في عام 1649م، عندما كان يريد وصف المنحنيان والكمية التابعة لها كالميل عند نقطة مُحددة من المنحنى، وحتى يومنا هذا نتعلم صياغة الدوال والتغيرات التابعة لها بشتى أنواع��ا، ولذلك عبر المقال التالي  نقدم لكم بحث عن الدوال.

بحث عن الدوال

• الدالة هي تمثيل رياضي لعلاقة رابطة بين مجموعة من العناصر تسمى بالمنطلق ومجموعة أخرى تسمى بالمستقر، وعلاقة العنصر الوحيد من المنطلق ورمزه  X يرتبط بعنصر وحيد من المستقر ورمزه Y.
• وبناء على ذلك تجد أن لكل تابع من مجموعة المنطلق X وكل تابع من مجموعة المستقر Y يُمكنه أن يرتبط الارتباط بالآخر إلا بعنصر وحيد فقط، بل يُمكن أن يرتبط عنصر من مجموعة المستقر Y بجميع عناصر المنطلق X.
• مع مراعاة أن يتجنب الخلط بين المنطلق والمستقر،  لأن في هذه الحالة تعطي الدالة كل القيم الموجودة في المستقر فيتحول المنطلق إلى مجموعة جزئية من المستقر.

مجال الدالة

• تُعتبر إحدى المجموعات مقترنة بالمجموعة الأخرى إذا ارتبط أي عنصر منها بعنصر واحد من المجموعة الأخرى.
• فالاقتران هو الدالة أو التطبيق أو التابع، وتتكون الدالة أو الاقتران من النطاق أي المنطلق، والنطاق المرافق أي المستقر، والقاعدة التي تربط بين أي من عناصر النطاق بواحد من عناصر النطاق المرافق.
• ويُطلق على المجموعة الجزئية بالنطاق المرافق المكونة من صور عناصر النطاق اسم مجال الدالة أو مدى الاقتران.

مدى الدالة

• عند التعويض بقيم مجال الدالة قد ينتج عن هذا التعويض مجموعة قيم تُسمى مدى الدالة.

أنواع الدوال متغيرة

الدالة الثابتة

• يكون الاقتران فيها ثابت وثبات التابع هو عدم تغير قيمته، ودومًا ما تكون قيمة المشتق الخاص بالدالة الثابتة صفر.
• وذلك لأن هذا المشتق يعبر عن قيمة التابع التي لا تتغير.
• وفي نظام الإحداثيات الديكارتية يتم تمثيل الدالة الثابتة بالخط المستقيم الموازي لمحور السينات والمتقاطع مع محور العينات عند قيمة التابع الثابتة.

الدالة المركبة

يكون الاقتران بها مركب، والمقصود بالتراكب هو أن نتائج الدالة الأولى تخضع للدالة الثانية.

الدالة التحليلية

• تكون دالة ذات قيم عقدية كما إنها تكون تامة الشكل، ومن أشكالها الدوال المثلثية والدوال اللوغاريتمية بالإضافة إلى دوال الرفع والدوال المتعددة.
• وتتتميز تلك الدالة بأنها يمكن اشتقاقها إلى عدد لا نهائي، كما أن مقلوبها لا يساوي صفر في أي نقطة.

الدالة الضمنية

• هي دالة متعددة المتغيرات ويكون لها اقتران تضامني، وفي الغالب تكون تلك الدالة متعددة الحدود.
• وتكون دالة صريحة في حالة ظهور المتغير الذي يتبع أي دالة في طرف المعادلة الرياضية وظهور المتغير المستقل بالطرف الآخر منها.

الدالة الزوجية

• لها شرك متعلق بالتماثل إلى جانب أقترانها الزوجي، وفي حالة تركيب دالة زوجية مع أخرى فردية فيكون الناتج دالة زوجية.
• وإذا تم تركيبها مع دالة زوجية أخرى فيكون الناتج دالة زوجية أيضًا، وجمع أو طرح أو قسمة الدالتين الزوجيتين ينتج عنه دالة زوجية.
• أما عند الجمع بين دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية فهو ينتج عنه دالة لا زوجية ولا فردية، وعند قسمة دالة زوجية على أخرى فردية ينتج عنها دالة فردية.

الدالة العكسية

تكون عناصر منطلق هذه الدالة معكوس للمجال المقابل، فإذا كانت الدالة تناظرية إلى أ إلى ب فإن الدالة العكسية تكون ب إلى أ، ولأن كل دالة لها دالة عكسية واحدة، فالدالة العكسية تتميز بالوحدة.

الدالة المتطابقة: أو المحايدة، وهي دالة ترتبط عناصرها فيها بنفسها، وإذا حافظت تلك الدالة على قيم المتغير تصبح دالة متطابقة.

الدالة الشاملة

دالة يكون مجالاتها متساوية مع المجال المقابل، وعند تمثيل تلك الدالة بشكل بياني ففي المجال المقابل يصل سهم واحد لكل عنصر فيه.

الدالة الصريحة

يكون أقترانها صريح إذا كان أحد طرفي المعادلة هو المتغير التابع للدالة والطرف الآخر به المتغير المستقل.

الدالة المستمرة

وهي الدالة التي تحدث تغيرات بمتغيراتها وبالتالي تتغير قيمتها.

الدالة المتناقضة

وهي التي تحتوي على اقتران متناقض.

الدالة الأسية

تكون أعدادها متساوية ولا تساوي الصفر فيها.

الدالة التزايدية

يكون شكلها رياضي وتكون أشكالها هي الدالة التربيعية والتكعبية.

الدالة الفردية

لها شرط يتعلق بالتماثل ويكون أقترانها فردي.

أنواع الدوال المتغيرة وفقاً لعدد المتغيرات

• فالدوال تنقسم إلى عدة أشكال وهذا حسب عدد المتغيرات.
• فإن كانت دالة في مجالها متغير واحد تسمى دالة المتغير الواحد المستقل، ومن أمثلتها العلاقة بين الدخل والإنفاق.
• وإذا كان أثنين تسمى دالة ذات متغيرين مستقلين، ومن أمثلتها مساحة المستطيل.
• وإذا كانت بثلاث فهي تسمى دالة ذات متغيرات ثلاثة مستقلة، ومن أمثلتها متوازي الأضلاع.

أنواع الدوال طبقًا لشكلها الرياضي

• الدالة الثابتة: ويتم كتابتها بتلك الصيغة f(x=c حيث c ∈R.
• الدوال كثيرة الحدود: ويتم كتابتها بتلك الصيغة f(x)=an n+ an-1 xn1 + an-2 xn-2+……………+ a0 x0 +a0.

تمثيل الدوال المتغيرة

الدوال المتغيرة تنقسم إلى أربعة أقسام وهما:

التمثيل الجبري

إذا كان  د(س)=3س+1 فأوجد المصادر 4 ، 5

إذاً الحل سيكون:

د(5)=3(5)+1=16

د(4)=3(4)+1=13

التمثيل البياني

تمثل العناصر الخاصة بالمنطلق على المحور س، والعناصر الخاصة بالمستقر على المحور ص، ويمثل كل عنصر مع صورته في نفس النقطة، حتى نحصل على بعض النقاط، ثم نقوم بربطها معاً، لنكوّن الشكل البياني للدالة.

أشكال أخرى للدوال المتغيرة

• تمثيل كلامي
• تمثيل باستخدام نظام القائمة

تغيرات الدوال المتغيرة

تغيرات الدوال تنقسم إلي ثلاثة وهما التغيرات العكسية والطردية و المركبة، وسنناقشهم معاً:

التغيرات العكسية

في هذه الحالة يوجد تغير عكسي يدخل على المتغيرين

التغير الطردي

وفي هذه الحالة يكون المتغيرين تتغير أشكالهم بشكل واحد مع مراعاة ثبات النسبة بينهم، وإليكم مثال:

إذا كان المتغيران أ/ب= س، سوف نجد أن النسبة هي أ/ب= س.

التغير المركب

في هذه الحالة يتم خلط المتغير الطردي مع المتغير العكسي.