مشكلة

يظهر أدناه هرم بقاعدة مربعة ، وطول ضلع س ، وارتفاع ح. أوجد قيمة x بحيث يكون حجم الهرم 1000 سم³ ومساحة سطحه الدنيا.

• • تم حل هذه المشكلة بيانيا . هنا نحلها بشكل أكثر صرامة باستخدام المشتق الأول.
  • نستخدم أولاً صيغة حجم الهرم لكتابة المعادلة:
    (1/3) hx ² = 1000
  • نستخدم الآن صيغة مساحة سطح الهرم لكتابة صيغة لمساحة السطح S للهرم المعطى. في هذه المشكلة لدينا هرم مربع ، ومن هنا:
    S = x * √ [h ² + (x / 2) ² ] + x * √ [h ² + (x / 2) ² ] + x * x
    = 2 x √ [h ² + (x / 2) ² ] + × ²
  • حل المعادلة (1/3) hx ² = 1000 للحصول على h للحصول على:
    h = 3000 / x ²
  • استبدل h في صيغة مساحة السطح بـ 3000 / x ² للحصول على صيغة S بدلالة x (x موجب) فقط وأعد كتابتها على النحو التالي:
    S = √ [(36 10 ⁶ + x ⁶ )] / x + x ²
  • افترض أن ثابت k = 36 10 ⁶ واشتق S بالنسبة ل x.
    dS / dx = [3 x ⁶ (k + x ⁶ ) ^-1/2 – (k + x ⁶ ) ^1/2 ] / x ² + 2 x
  • اضرب البسط والمقام ب (k + x ⁶ ) ^1/2 وبسّط.
    dS / dx = [2 x ⁶ – k] / [x ² (k + x ⁶ ) ^1/2 ] + 2x
  • يظهر الرسم البياني dS / dx أدناه. بالنسبة إلى x> 0 ، فإن dS / dx لها صفر وسالب على يسار ذلك الصفر وموجب على يمين الصفر. هذا يعني أن S لها قيمة دنيا يمكن تحديد موقعها عن طريق ضبط dS / dx = 0 وحلها من أجل x.
    
    [2 x ⁶ – k] / [x ² (k + x ⁶ ) ^1/2 ] + 2 x = 0

• أعد الكتابة بتنسيق.
  [2 × ⁶ – ك] = – 2 × ³ (ك + × ⁶ ) ^1/2
• دع u = x ³ و u ² = x ⁶ وأعد كتابة ما سبق على النحو التالي:
  [2 u ² – k] = – 2 u (k + u ² ) ^1/2
• ر��ّع كلا الجانبين:
  4 u ⁴ + k ² – 4k u ² = 4 u ² (k + u ² )
• بسّط لتحصل على:
  k ² – 4k u ² = 4 ku ² k
• حل من أجل u: (u موجب منذ x موجب)
  u = √ [k / 8]
• أخيرًا قم بحل من أجل x للحصول على:
  x = [√ [k / 8]] ^1/3
• عوّض بـ k بقيمته واحسب x:
  x = 12.8 cm (مقربًا لأقرب منزلة عشرية).
• فيما يلي الرسوم البيانية لمساحة السطح ومشتقاتها.