مشكلة

OAB هو مثلث يتم إعطاء رؤوسه. أوجد أبعاد المستطيل ذي المساحة القصوى المدوَّنة في المثلث وأحد أضلاعه على الجانب OA من المثلث.

حل المشكلة:

• • في الشكل أدناه ، يوجد مستطيل برؤوس القمة على جانبي المثلث ، وعرضه W ، وطوله L منقوشان داخل المثلث المعطى. علينا أولًا إيجاد صيغة لمساحة المستطيل بدلالة x فقط.

    

  • يتم إعطاء المنحدر m1 للخط المار عبر OB بواسطة
    m1 = (12-0) / (6-0) = 2
  • دع (x، y) تكون إحداثيات الرأس الأيسر العلوي للمستطيل. بالتالي

    م 1 = 2 = (ص – 0) / (س – 0) = ص / س

  • ومن ثم يتم إعطاء عرض المستطيل
    W بالقيمة W = y = 2x
  • يتم إعطاء المنحدر m2 عبر AB بواسطة.
    م 2 = (12 – 0) / (6-10) = -3
  • إذا كان الرأس الأيمن العلوي للمستطيل به إحداثيات (x، y) إذن.
    م 2 = -3 = (ص – 0) / (س – 10)
  • ومن ثم
    ص = -3 س + 30
  • إذا عوضنا عن x ب x + L في المعادلة أعلاه ، فإن y تساوي W عرض المستطيل
    y = W = -3 (x + L) + 30

• نحن الآن نساوي تعابير W = 2x و W = -3 (x + L) + 30 لإيجاد والتعبير عن L
  2x = -3 (x + L) + 30
• حل المعادلة أعلاه من أجل
  L L = 10 – (5/3) x
• تم إعطاء المنطقة أ بواسطة.
  A = WL = 2x (10 – (5/3) x) = – (10/3) x ² + 20 x
• A هي دالة تربيعية لـ x ، على شكل ax ² + bx + c ، ومعاملها الرئيسي a = -10 / 3 سالب ، ومن ثم فهي ذات قيمة قصوى عند القيمة الحرجة للمشتق الأول A ‘من A.

  أ ‘(س) = – (20/3) س + 20

• تم العثور على النقطة الحرجة عن طريق حل المعادلة A ‘(x) = 0. ومن ثم
  – (20/3) x + 20 = 0
• يتم الحصول على النقطة الحرجة بواسطة x = 3.
• المنطقة أ من المستطيل لها قيمة قصوى لـ x = 3 ، W = 2x = 6 ، L = 10 – (5/3) 3 = 5.