حلول

استخدم المشتق الأول لتقليل مساحة الهرم – مشكلة التحسين ..رياضيات

 

استخدم المشتق الأول لتقليل مساحة
مشكلة تحسين الهرم

يستخدم المشتق الأول لتقليل مساحة سطح الهرم بقاعدة مربعة.

 

مشكلة

يظهر أدناه هرم بقاعدة مربعة ، وطول ضلع س ، وارتفاع ح. أوجد قيمة x بحيث يكون حجم الهرم 1000 سمومساحة سطحه الدنيا.

الهرم للمشكلة 2
حل المشكلة 1:

 

    • تم حل هذه المشكلة بيانيا . هنا نحلها بشكل أكثر صرامة باستخدام المشتق الأول.
    • نستخدم أولاً صيغة حجم الهرم لكتابة المعادلة:
      (1/3) hx 2 = 1000
    • نستخدم الآن صيغة مساحة سطح الهرم لكتابة صيغة لمساحة السطح S للهرم المعطى. في هذه المشكلة لدينا هرم مربع ، ومن هنا:
      S = x * √ [h 2 + (x / 2) 2 ] + x * √ [h 2 + (x / 2) 2 ] + x * x
      = 2 x √ [h 2 + (x / 2) 2 ] + × 2
    • حل المعادلة (1/3) hx 2 = 1000 للحصول على h للحصول على:
      h = 3000 / x 2
    • استبدل h في صيغة مساحة السطح بـ 3000 / x 2 للحصول على صيغة S بدلالة x (x موجب) فقط وأعد كتابتها على النحو التالي:
      S = √ [(36 10 6 + x 6 )] / x + x 2

    • افترض أن ثابت k = 36 10 6 واشتق S بالنسبة ل x.
      dS / dx = [3 x 6 (k + x 6 ) -1/2 – (k + x 6 ) 1/2 ] / x 2 + 2 x
    • اضرب البسط والمقام ب (k + x 6 ) 1/2 وبسّط.
      dS / dx = [2 x 6 – k] / [x 2 (k + x 6 ) 1/2 ] + 2x
    • يظهر الرسم البياني dS / dx أدناه. بالنسبة إلى x> 0 ، فإن dS / dx لها صفر وسالب على يسار ذلك الصفر وموجب على يمين الصفر. هذا يعني أن S لها قيمة دنيا يمكن تحديد موقعها عن طريق ضبط dS / dx = 0 وحلها من أجل x.
      رسم بياني لمشتق dS / dx

      [2 x 6 – k] / [x 2 (k + x 6 ) 1/2 ] + 2 x = 0
  • أعد الكتابة بتنسيق.
    [2 × 6 – ك] = – 2 × 3 (ك + × 6 ) 1/2
  • دع u = x 3 و u 2 = x 6 وأعد كتابة ما سبق على النحو التالي:
    [2 u 2 – k] = – 2 u (k + u 2 ) 1/2
  • ر��ّع كلا الجانبين:
    4 u 4 + k 2 – 4k u 2 = 4 u 2 (k + u 2 )
  • بسّط لتحصل على:
    2 – 4k u 2 = 4 ku 2 k
  • حل من أجل u: (u موجب منذ x موجب)
    u = √ [k / 8]
  • أخيرًا قم بحل من أجل x للحصول على:
    x = [√ [k / 8]] 1/3
  • عوّض بـ k بقيمته واحسب x:
    x = 12.8 cm (مقربًا لأقرب منزلة عشرية).
  • فيما يلي الرسوم البيانية لمساحة السطح ومشتقاتها.
    الرسم البياني لـ S ومشتقاته dS / dx

 

مقالات ذات صلة

زر الذهاب إلى الأعلى

أنت تستخدم إضافة Adblock

برجاء دعمنا عن طريق تعطيل إضافة Adblock